금융

첫째, 내가 가진 100원 중 1원부터 100원까지 판돈을 걸 수 있다. 둘째, 동전을 던져 앞면이 나오면 건 돈의 2배를 받고, 뒷면이 나오면 건 돈만 잃는다. 아주 간단한 조건의 내기입니다. 위의 내기를 예로 설명하면 100원 중에서 75원을 건다고 생각해봅시다. 앞면이 나오면 75원의 2배를 받아 총액이 250원이 되고, 뒷면이 나오면 75원을 잃어 총액이 25원이 됩니다.

이기면 2배를 주고, 지면 건 돈만 잃는 셈이 거는 사람에게 정말 유리한 내기입니다.

여기에서 계산을 편하게 하기 위하여 판돈은 총액의 비율로만 걸 수 있다고 생각해봅시다. 위의 예처럼 총액의 75%를 거는 것으로 생각하죠.

이 내기를 5,000번 연속으로 한다면 평균적으로 얼마의 돈이 남을까요?

어림짐작으로 해도 이기면 2배를 받은 아주 유리한 내기이니까 아마도 평균값(기대값)은 분명히 100원보다 높을 것입니다. 조금 더 이해를 돕기 위해 5,000번은 중에 n번 이기고 (5,000 –n)만큼 진다면 남게 되는 돈은 다음과 같습니다. 100 * (2.5)^n * (0.25) ^(5000 –n) 이제 평균값을 계산해 봅시다. 5,000번의 내기를 하면 100 * (1.375) ^5000 = 10^690이 됩니다. 이 금액은 690개의 0이 붙는 엄청난 금액입니다. 이 금액은 평균값입니다. 5,000번 연속으로 이겼을 때의 값이 아닙니다. 참고로 5,000번 연속으로 이겼을 때의 값은 100 * 2.5 ^5000이므로 계산할 수 없는 엄청난 값이 됩니다.

5,000번의 내기가 끝났을 때 원금 100원보다 많은 돈을 가지고 있을 확률은? 하지만 만약 5,000번의 내기가 끝났을 때 100원보다 많은 돈을 가지고 있을 확률은 어떻게 될까요? 100 * (2.5)^n * (0.25) ^ (5000 – n)이 100보다 크려면 n이 3,010보다 커야 합니다. 즉, 이기는 횟수가 3,010 이상이 되어야 하는데 그 확률을 구하면 됩니다. 여기에서 계산식을 빼고 답을 말씀드리면 그 확률은 1/10^44이 됩니다. 소수점으로 표현하면 0.00000000000000000000000000000000000000000001입니다. 0이 43개라고 생각하시면 됩니다. 그 확률은 0에 가깝습니다. 위 테스트의 답을 보면 기대값은 엄청난 수치입니다. 10의 60승이라면 얼마인지 알 수도 없는 숫자입니다. 하지만, 내기가 끝났을 때 본전(10의 60승이 아닌 100원)보다 높은 금액일 확률 역시 0에 무한히 가까운 숫자입니다.

참고자료: <돈버는 수학>